Math Analysis Homework - Week 2
Math Analysis Homework - Week 2
Class 4
T1
设
T2
设
T3
设数列
T4
设
对于
T5
求极限
T6
求极限
T7
设数列
Class 5
T1
用柯西收敛准则证明数列收敛.
T2
T3
逆向三角不等式显然.考虑正向
对
于是令
T4
(1)
(2)
Class 6
T1
显然
若
则
于是
故
eg. 当
T2
T3
取
T4
假设
故
设
设
设数列
设
对于
求极限
求极限
设数列
用柯西收敛准则证明数列收敛.
逆向三角不等式显然.考虑正向
对
于是令
(1)
(2)
显然
若
则
于是
故
eg. 当
取
假设
故
记录大致讲了什么
我们定义向量空间
向量空间
向量空间定义在域
加粗部分用于判断子空间,根据
子空间
就是子集且是向量空间的对吧
判定可以看上面
向量空间还应该有维数.于是定义
线性无关组
张成,张成组
张成
基
基=张成组+线性无关组
则按照直觉的,维数应该是张成组长度的最小值,线性无关组长度的最大值,基的长度等等,下面讨论的是有限维线性空间.
首先说明,对一个线性相关的组,我们一定可以去掉一个线性相关项保持张成空间不变(显然).
首先说明
任意一组线性无关组长度小于等于任意一组张成组长度:
考虑一个线性无关组和一个张成组,将一个线性无关组的元素加入张成组,则形成的一定是线性相关组,删去一个张成组中的元素则保持张成,不断重复这个操作,注意因为被加入的线性无关,所以你想相关一定得带张成组中的,于是可以一直操作.
直到线性无关组全部被加入,则因为每次删掉一个张成组元素,你一定有线性无关组长度不大于它.
线性无关组可通过加元素扩展到基,张成组可通过删除元素到基
对线性无关组,每次加入一个不属于张成空间的,由于组的长度大小不断增加,而存在一个长度的基,所以你的过程会停止.
同理对张成组每次删掉一个线性相关项不影响张成空间.
每组基的长度都相当,具有恰当长度的线性无关组/张成组是基.
第一句用小于等于关系,后面两个通过基的长度相等+上一条可以变成基说明.
维数就是这个长度为
空间的和
加法实际上是并(包含子空间所有向量的最小空间).
并定义直和.
空间直和
直和相当于不交并,是对空间进行一种分解.
然后直和的判定容易证明只要
空间的积
就是笛卡尔积.
其实也可以先扩展一下直和 是等价的.
仿射空间
注意如果
然后仿射空间关于以上运算是线性空间,其中
空间的商
可以理解成等价类分类.如果两个向量的差在
最后考虑它们的维数,有:
第一行是显然的.
第二行考虑取
第三行需要线性映射.
线性映射
线性映射是映射满足:
线性变换的运算
符合直觉的.于是你可以说明
值域,零空间
考虑
对任意
单射,满射,双射,可逆
基本性质
都挺显然的.
定义
则
套用上面值域和零空间的维数公式即可.
矩阵
选取
即每一列是一个基向量在像空间中的基的表示.然后有的时候也直接简写
矩阵可以这么定义因为线性变换的线性保证了你可以只用基的变换去描述它,同时基的这种变换也能唯一确定线性变换.
于是可以定义矩阵运算:
其中第一行矩阵乘法用坐标写一下可以推出经典的矩阵乘法方式.
线性泛函,对偶空间
线性泛函就是
线性泛函可以看成是向量/点的对偶.线性泛函
对偶映射
若
然后对偶主要解释了:
对偶映射的运算
零化子
对线性空间
注意
取
考虑
对第二行,左边是任意
然后还有一个问题是我们以为
本征值,本征向量
若对算子
就是说算子在这个方向上对变换只有伸缩.
一个本征值可能对应多个线性不相关的本征向量,它们构成本征空间
首先注意到对算子来说 单射,满射双射等价
又因为单射等价于
不同本征值对应对本征向量线性不相关.
反证,你要利用不同本征值这个性质,于是你设
因为
有此容易说明本征值个数不大于线性空间维数.
复向量空间中的线性映射一定有本征值
考虑
不变子空间
即对算子
商算子,限制算子
显然
把算子放到更小的空间去研究的方式.
按照上面基的理解,有
感觉是显然的.
那么考虑什么样的线性映射
归纳,假设对任意维数小于
于是可以应用归纳结假设,
将这组基扩展到
Generative AI Enhances Human Creativity
To begin with my argument, I’ll tell a story of my own. In the summer vacation, with generative AI I developed a online notebook application whose design may be innovative and unique in my view. To complete this work I, a high school student, used AI to generative tons of code. People’s creativity comes from their whims, and most of them just evaporate for their limited capbility. However, when AI’s knowledge and skills shelter the whims from the complexity of the reality, our whims could transform into a true, creativity, rather than fade out in our mind. This is the first point.
Secondly, AI proivdes a more accessible platform for every one to gain knowledge. We can’t deny that creativity is based on knowledge. Primitive human can’t imagine the Internet while the under-educated people can’t understand generative AI’s structure as well. Today ,those difficult conception could be explained by AI, those hidden tips could be unearthed from the corner of the Internet by AI, and those people, who consist the most part of the world and can’t accept the best education, could have the most patient teacher. So AI will definitely enhance creativity by expanding the soil it comes from.
Lastly, if we omit the content I had explained and stubbornly insist AI hinder the creativity, saying like “AI’s convenient answer prevent people from thinking” or some prediction about a dark future with AI, I will say that it’s not AI hinder our creativity. When employers replace workers with ai without considering their lives, when some people depending on ai give up thinking deeply, the faughts were always on people ourselves. It may be inappropriate structure of society or the laziness of human nature. AI is just a knife and people decide who it will attack.
As a summry, AI has enhanced and will constantly enhance human’s creativity by realizing the whims that we could already quit and popularizing the knowledge be the basical root of creativity.
Going around a triangle from
Describe geometrically (line, plane, or all of
a line with direction vector
a plane through the origin
all the 3d space
If
Compute
These lie in a plane because
If three corners of a parallelogram are
a triangle with another three outer vertices
Review Question. In xyz space, where is the plane of all linear combinations of
equal to the linear combination of i and j(
so it’s the plane xOy
What combination
Restricted only by
a angle that has the origin as the vertex(we should paint all the points between u and v black)
If you look at all combinations of those
(1):no.
(2):a plane
How many corners
(1):every component of every vertex’s coordinate has two value, so there are
(2):volume:
(3):every 3d faces means a restriction of one component, so
(4):every edge means a restriction of three components, and the last component’s two value represents two vertex it connects. so
Find two different combinations of the three vectors
so for each
is a solution
No. eg:
Yes when there are two vectors in
The linear combinations of
(do some elementary row operation on Identity Matrix)
Write down three equations for
Obviously wrong.
Wrong
Wrong
不妨设
又
Obviously:
同上一题,里面有界,是
证明
设
设
唐. 可以用调和均值/算数均值夹两边.
令
设
反证,设
故
设数列
若存在
矛盾,故
于是
计算极限
设
还是用了连续性/kk
设
向量的模长也满足 也可以用这个做法.
显然 取
归纳,
对非
注意
Or try this:
Solve the equation, it’s a parabola with upward opening so the solution exists.
[think] At this stage, we cannot say
More natural than textbook but it doesn’t depend on Integer factorization.
Simulate how the division is done and consider the remainder will be repeated.
Find a bijection of
Wow!
(承认选择公理)
首先选择公理出良序定理,找到
然后进行超限归纳,把
然后这个看起来进行的是普通的自然数归纳显然是错的. 你需要用超限归纳也就是在序上做归纳.
然后问题来到序是什么.
序的结构是这样的 首先是自然数 自然数定义是
然后定义完所有自然数后 定义
基本上是每个层次的运算完了之后进下一个层次的序数构造 总之它看起来包含了各种各样的无穷,可以应付所有大小的集合.
然后我们要在序数的结构上做归纳法,就要证明:
那你对照一下我们的归纳就是一一对应啊,所以是合法的. 就结束了.
然后我们刚才是说明了可以借良序去给两个集合配对,那么你就一定能找到一个对另一个的单射,所以一定可比.
或者表达为
考虑从任意元素
同理
注意到所有元素一定都在某条链上(映射).每个点度数一定至多一进一出(单射).
于是每条链上构造一个双射(显然的)拼起来即可.
其实这些应该算集合论还是什么?
显然
先上一个保号性干掉分母上出现
证取倒数:
那转化到乘法是显然的.
基本就是收敛到
不妨设
考虑影响值的肯定是中间的项,所以直接拆,取
后面显然.`
先简化,不妨设
然后可以证
因为你
然后我说
取
然后书上因为没教你上确界,试图用无限小数说明.那其实就是你一位一位考虑,就先这一位增加到最大,然后进入下一位,容易发现最后区间长度趋近于
其实无限小数就是区间套啊.
右边那个单调有界都是好证的.证相等:
又有
于是先令
重点是把一次到极限拆成两个取极限.但这个为什么对呢.
是好证的,其实就是
[think]
用定义是显然的.且如果极限都存在(要
然后说为什么取极限小于号还是小于号呢?
[think] 对单调数列让一个独立变量趋近无穷说明严格不等号.
有个魔怔法,你先去下一条证明
假设
左边是不为
[think] 一个无理数等价于存在一列分母到无穷的有理数始终有更高阶(相比序列中分母)的余项.
第二个取倒数同理.
从这个出发可以说明
有界数列有收敛子列
可以考虑后缀max,取出一个单调子列.
也可以区间套,每次进有无穷多项的区间.
Cauchy Convergance Theorem
右推左是显然的.
首先容易得到有界.于是它有收敛子列.
然后你其他的项到你的收敛子列的距离拿柯西的条件放缩一下就证完了.
或者也可以闭区间套.
有上界的数集一定有上确界.
来闭区间套,二等分,如果上面的(包含边界)有就取上面,否则取下面,框出一个数.
然后来看,比他小的不是上界是好说的(取个区间即可).怎么说明它是上界呢?
考虑任何一个数,递归后一定有某一次它在下半区间(包含中点),那就证完了.
可能甚至不如无穷小数简洁 反正本质相同.
反证,设
闭区间套 二等分 则一定有一半区间也是不能被有限覆盖的.递归到不能被有限覆盖的区间,最后弄出一个数.
但包含这个数的极小区间显然可以被有限覆盖.矛盾,得证.
很棒的啊,它完全不关心你无穷覆盖的结构而是到数的结构去了.
考虑取任意
不妨设
取
那么一定存在一个收敛到
若
若
于是得证.
In n-D space we can found at most
The construction is Obviously(
Chosen a vector, the others must be in a semisphere. We say two semisphere is seperated by plane A.
And we notice that: if two vector’s shadow on plane A construct a acute angle, their dot product must be positive, transformed it into a 2-D problems which is easy to solve.
We choose a vector
so
then transformed it into the (n-1)-D situation.
The construction can be easily give during the induction
given by Bing!
In n-D space,
so divide the vector by sign of
We noticed
对算子
注意到左逆存在等价于
又因为
左逆推出
上大学了 从CS转向Math
长期更新数学/大学课程/生活相关内容
test1
test2